图卷积神经网络 GCN 沈华伟（1 谱方法）
视频连接：2020 CCF 沈华伟 GNN
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1.概述
卷积神经网络的成功的原因：能够学习到数据中局部信息，通过局部化卷积核，实际上是一种参数共享的方式。
然后通过逐层堆叠的方式，把局部的卷积核变成多尺度的层次模式。从而实现特征学习的一个效果。
1.1 局部卷积核：
平移不变性，可以得到与位置无关的一些pattern
2.卷积的迁移
2.1难点
怎么将欧氏空间的卷积转移到非欧氏空间（non-Euclidean domain）中，比如说graph，其结构是非规则的难以定义卷积。
图像与网络：
我们可以想象为一个规则的网络，像素代表一个节点，其卷积核可以简单的定义。但是真实世界中的网络，要远比上述网络复杂。
真实网络节点的度分布差异非常大，有类似核心节点（微博大V），也有类似边缘节点，不像图像抽象出的网络只有上下左右存在度。
每个节点的邻居数不同，所以很难定义满足平移不变性的卷积核。这是图上定义卷积的很大的一个难点。
2.2 网络卷积的运用
CNN迁移到图上定义图上，总体来说还是这两点：
如何定义图上的卷积；定义图上的pooling（下采样这样的操作），但是pooling和具体的任务相关，如果和节点相关，也就不需要下采样。
2.2.1 卷积：
两个函数点积之后，做积分，生成第三个函数
信号处理中，g即一个方波；f即为是个信号，横轴为时间。
离散情况下，如图像中，卷积核即为一个patch，在图像的像素上滑动，抽取局部的信号。
举例：掷骰子，两次骰子，和为8的概率是多少？（2+6；3+5；4+4；5+3；6+2五种情况的概率之和）
2.2.2 图上卷积：
定义有两种方法，
一种是空间方法，但是网络中每个节点的邻域大小多少不一致，很难有进展；
另一种是谱方法，将原来的图 从节点域里变化到谱域里（利用卷积定理和傅里叶变换实现），在谱域里再定义卷积核。面临的挑战：其卷积不再局部化，会带来网络特征较大范围的改变。
2.2.3 谱方法：
输入图G，W为其带权重的邻接矩阵。每个节点还有一个d维的特征，则n个节点形成特征矩阵X:Shape(n, d)，每一个维度都理解成定义在这n个节点的一个信号，类似于图像中RGB三维特征。
这里可以看出，图的处理，本质上也与信号处理过程类似。
图拉普拉斯（Graph Laplacian）：
参考信号处理的方式，我们有图拉普拉斯（Graph Laplacian）方式进行处理：实际上对信号求导数操作，获得信号在图上的平滑程度，称之为拉普拉斯算子
（1）拉普拉斯矩阵：
拉普拉斯矩阵式带权度矩阵与带权邻接矩阵之差。度矩阵是一个对角阵，每一行的元素维邻接矩阵该行之和。
但是我们常用其normalized版本，数学性质更好。I是单位矩阵。
通过拉普拉斯矩阵即可实现将信号转移到谱域中去。
（2）图傅里叶变换
上面我们说到，图上的信号一般表达为一个向量。假设有n个节点。在这一节，我们将图上的信号记为：
每一个节点上有一个信号值。类似于图像上的像素值。
傅里叶反变换的本质，是把任意一个函数表示成了若干个正交基函数的线性组合。
图上的信号如果要进行傅里叶变换，我们也需要找到一组正交基，来表达x。
任意的图上的信号可以表示为：
所以，图上的傅里叶变换，实际上是求一个表示的参数（权重），最终我们取这个表示的参数（权重），来替代这组信号，就是在谱域里面的表达。
（3）在谱域上定义卷积：
图上的傅里叶变换只是一个手段，定义卷积利用的是卷积定理
卷积定理是傅立叶变换满足的一个重要性质。卷积定理指出，两个函数的卷积的傅立叶变换是两个函数分别傅立叶变换后的乘积。（百度百科）
因此可得：
两个信号，一个x一个y，
所以，我们将UTy作为卷积核，与信号x进行点积操作，再进行逆变换。
总结：
- 把信号x变换到谱域中（这一步需要傅里叶变换），
- 在谱域中，定义一个卷积核（设初始值，反向传播进行调整），与信号x在谱域中的表达做点积。
- 最后进行逆变换，把谱域中的卷积转换到空间域或者说节点域中
这是CNN作者的原始方法，谱方法但是存在缺陷（挑战）
3.缺陷改进
3.1ChebyNet：参数化卷积核；
这里使用了拉普拉斯矩阵的特征值，改造卷积核。
原来的卷积核是反向传播算法得到的，这里将它改造，写成一个由固定对角阵形成的多项式，这个对角阵，就是拉普拉斯矩阵的特征值形成的对角阵。经过简化变换，可以发现卷积操作只剩拉普拉斯矩阵和输入信号。β为参数，实际上通常K很小 0-9 六度分割。
三个好处：
不需要特征分解了，时间复杂度降低到O(K|E|)，卷积操作变为局部化的操作。
3.2 继续改进：Graph Wavelet Neural Network
ICLR2019,图小波神经网络:paper
chebNet的主要工作：
把原来自由的卷积核，用多项式函数做参数化，实现了图卷积核取值空间的约束，进而不再依赖逆傅里叶变换，也实现了局部化。
作者更改傅里叶基为小波基
但是这样操作，时间复杂度较高O(n*p*q)
