寻找“最好”（1）——函数的极值
函数在其定 义域的某些局部区域所达到的相对 最大值或相对最小值。当函数在其 定义域的某一点的值大于该点周围 任何点的值时，称函数在该点有极 大值; 当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时， 称函数在该点有极小值。这里的极 大和极小只具有局部意义。因为函 数的一个极值只是它在某一点附近 的小范围内的极大值或极小值。函 数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。
单变量函数
极值点
单变量函数的最值问题较为简单，如果一有个函数f(x)，那么它的最值可能是函数的边界点或驻点。
SRE实战 互联网时代守护先锋，助力企业售后服务体系运筹帷幄！一键直达领取阿里云限量特价优惠。假设f(x) = 2x2 + x，求f(x)的最小值。
这个函数中x∈(-∞,+∞)，由图像可知，f(x)没有边界点，所以其驻点就是最小值。驻点是导数为0的点，在该点处，函数的变化率为0：
当x=-1/4时，f(x)有最小值-1/8。
极大还是极小
当然，极值是个局部概念，是相对于临近点的最小点，是否是最值就不一定了：
上图中ABCDEF几个点的导数都是0，它们的导数都是0，都是极值点，但只有B是最小点，最大点在无穷远端。现在问题来了，上图中B和C都是极值点，如果不作图的话，怎样判断最小值和最大值呢？
假设我们取到了一个极值点f(x0)，对于x0的临近点x0 + β来说，f(x0 + β)在x0出的泰勒展开(关于泰勒公式可参考《单变量微积分笔记31——幂级数和泰勒级数》)：
由于越展开，项的值越小，所以可以仅展开到二阶导数：
我们已经假定f(x0)是极值点（f’(x0) = 0），所以上式可以进一步化简为：
如果f(x0)是极小值点，那么必然有f(x0 + β) > f(x0)，由于β2/2! > 0，所以f’’(x0) > 0；反之，如果f(x0)是极大值点，那么f’’(x0) < 0；如果f’’(x0) = 0，则有可能是一个拐点（多变量中也叫鞍点）。更多关于单变量函数的极值问题，可参考：《单变量微积分笔记7——曲线构图》《单变量微积分笔记8——最值问题和相关变率》
多变量函数的极值
极值点
与单变量函数类似，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点上取得。
对于一个多元函数f，如果有一个点满足f所有自变量的偏导都同时为0，那么这个点被称为f的临界点，也称为驻点。
对于二元函数f(x, y)来说，临界点(x0, y0)满足：
需要注意的是，导数为0的点仅仅是潜在的极值点，它也可能是鞍点，此时不是极大值也不是极小值：
极大还是极小
通常使用二阶导数判断多变量函数的极值。f(x, y)的一个临界点是(x0, y0)，即fx(x0, y0) = 0 && fy(x0, y0) = 0，f的二阶导数是fxx,fxy,fyy现在：
该临界点有如下结论：
更多关于多变量函数的极值问题，可参考：《多变量微积分笔记3——二元函数的极值》
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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