数列的单调性
前言
一、相关性质
二、典例剖析
例1【2018广东广州一模】已知数列 \(\{a_n\}\)满足 \(a_1=2\)， \(2a_na_{n+1}=a_n^2+1\)，设 \(b_n=\cfrac{a_n-1}{a_n+1}\)，则数列 \(\{b_n\}\)是【】
$A.常数列$ $B.摆动数列$ $C.递增数列$ $D.递减数列$法1：由于\(2a_na_{n+1}=a_n^2+1\)，则可知\(a_{n+1}=\cfrac{a_n^2+1}{2a_n}=\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})\)，
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又由于\(a_1=2\)，\(b_1=\cfrac{a_1-1}{a_1+1}=\cfrac{1}{3}\)，故\(b_2=b_1^2=(\cfrac{1}{3})^2\)，\(b_3=b_2^2=(\cfrac{1}{3})^4\)，\(b_4=b_3^2=(\cfrac{1}{3})^8\)，故数列\(\{b_n\}\)为递减数列。故选\(D\)。
法2：(待思考)，\(a_{n+1}=\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})\)，故\(a_n>0\)，则\(a_{n+1}\ge \cfrac{1}{2}\cdot 2=1\)，
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