高数笔记：函数
准备
1.数集表示符号：
- 自然数集：N 代表自然数集（非负整数集）。表示物体个数的数叫自然数，如（0，1，2，3...）。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。
- 而N*则表示正整数集,英文是natural number。
- 整数集：Z 来自于德语,德语中的整数叫做Zahlen。（integer）如（-3,-2,-1,0,1,2,3）等这样的数。整数集是一个数环。整数不包括小数，分数。
- 有理数集：Q 由于两个数之比(商)叫做有理数,商的英文是quotient,所以用Q来表示。如,是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。【有理数的小数部分是有限或为无限循环的数】。不是有理数的实数称为【无理数】，【无理数的小数部分是无限不循环的数】。
- 实数集：R 表示集合理论中的实数集,而复数中的实数部分也以此符号为代表,英文是real number。实数是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
2.数轴：
建立数轴后，实数与数轴上点一 一对应；建立实数集A，与数轴上某一区间一 一对应；
3.开区间：
直线上介于固定的两点间的所有点的集合（不包含给定的两点），用(a,b)来表示（不包含两个端点a和b）。开区间的实质仍然是数集，该数集用符号（a，b）表示，含义一般是在实数a和实数b之间的所有实数，但不包含a和b。相当于{x|a<x<b}，记作（a,b） 取值不包括a、b。
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（开区间在数轴上用空心点表示）
4.闭区间：
闭区间是数学用语，与开区间相对。 直线上介于固定的两点间的所有点的 集合（包含给定的两点）。 闭区间是直线上的 连通的 闭集。由于它是 有界闭集，所以它是紧致的。 闭区间的函数为 小于等于的关系，即-∞≤a≤+∞，在数轴上为实心点。闭区间的 余集（就是 补集）是两个 开区间的 并集。 实数理论中有著名的 闭区间套定理。 代表符号：[x,y] ，即从x值开始到y值，包含x、y。比如：x的取值范围是3到5的闭区间，那么用数学语言表示即为 [3,5] ，也就是从3（含）到5（含）之间的数 闭区间数轴上用实心点表示（第1个）：
（各区间数轴表示，符号表示）
5.邻域：
【邻域】是一个特殊的区间，以点a为中心点任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。 【点a的δ邻域】：设δ是一个正数，则开区间（a-δ，a+δ）称为点a的δ邻域，记作
,点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。由于
相当于
，因此，
表示与点a的距离小于δ的一切点x的全体。
（）
(邻域) 点a的去心δ邻域：有时用到的邻域需要把邻域中心去掉，点a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，记作
（表达方法是在U上标一个小的0）,即
,这里
表示
。有时把开区间(a - δ, a)称为a的左δ邻域，把开区间(a, a + δ)称为a的右δ邻域。
若x的邻域同时是X中的开集，称其为x的开邻域；若它同时是X中的闭集则称其为x的闭邻域。
拓扑学解释：
设 A是 拓扑空间( X, τ)的一个 子集，点 x∈ A。如果存在 集合 U，满足以下条件：- U是 开集，即 U∈ τ；
- 点x∈ U；
- U是 A的子集，
拓扑空间相关结论：
- 拓扑空间X，X的子集A是 开集，当且仅当A是其中所有点的邻域。（显然由此可知，从邻域公理出发可以等价地定义拓扑空间）。
- 拓扑空间X，X的子集A和A°，A°是A的 开核，当且仅当A° = {x | ∃U∈U(x)，U⊆A}。
- 拓扑空间X，X的子集A和A’，A’是A的 闭包，当且仅当A’ = {x | ∀U∈U(x)，U∩A ≠ ∅}
6.去心邻域：
去心邻域即在a的邻域中去掉a的数的集合，应用于高等数学。在拓扑学中，设A是拓扑空间(X,τ)的一个子集，点x∈A。如果存在集合U，满足 U 是开集，即 U∈τ；点x∈U；U 是A的子集，则称点 x 是 A 的一个内点，并称 A 是点 x 的一个邻域。
只考虑点a邻近的点，不考虑点a，即考虑点集{x|a-δ<x<a∨a<x<a+δ}，称这个点集为点a的去心邻域，记为 
，即 
。如下图所示：
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