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Bolzano-Cauchy第一定理

设实数 零点存在定理与介值定理 随笔 第1张 ，设 零点存在定理与介值定理 随笔 第2张 是在闭区间 零点存在定理与介值定理 随笔 第3张 上的连续函数，并且满足条件 零点存在定理与介值定理 随笔 第4张 .

则存在点 零点存在定理与介值定理 随笔 第5张 ，使得 零点存在定理与介值定理 随笔 第6张

该定理又被称作零点定理、零值定理、零点存在定理、根的存在定理，等等

 

 

Bolzano-Cauchy第二定理

设 零点存在定理与介值定理 随笔 第7张 是定义在某区间 零点存在定理与介值定理 随笔 第8张 上的连续函数，设实数 零点存在定理与介值定理 随笔 第9张 是区间 零点存在定理与介值定理 随笔 第10张 内的两点，并且满足 零点存在定理与介值定理 随笔 第11张 ，令 零点存在定理与介值定理 随笔 第12张 .

设 零点存在定理与介值定理 随笔 第13张 为介于 零点存在定理与介值定理 随笔 第14张 与 零点存在定理与介值定理 随笔 第15张 之间的任意实数（要么 零点存在定理与介值定理 随笔 第16张 ，要么 零点存在定理与介值定理 随笔 第17张 ）

则存在点 零点存在定理与介值定理 随笔 第18张 ，使得 零点存在定理与介值定理 随笔 第19张

该定理又被称作介值定理、中间值定理等

它还经常被等价描述为：区间上连续函数的值域必为区间

 

从内容上，介值定理包含零值定理，但实际上二者是等价的，证明其中一个，就极其容易推出另一个. 一般先证明零值定理，再推出介值定理居多.

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