MT【341】向量外积
已知向量$\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c}$满足$|\textbf{a}|\cdot|\textbf{b}|\sin\theta=2,\textbf{c}=\lambda\textbf{a}+\textbf{b},\lambda\in R$.
求$\textbf{c}(\textbf{c}-\textbf{a})+\textbf{a}^2$的最小值_____
答案:$ 2\sqrt{3}$
分析:记$\overrightarrow {OA}=\textbf{a},\overrightarrow {OB}=\textbf{b},\overrightarrow {OC}=\textbf{c}$
则由题意$S_{\Delta OAC}=1$,设$\angle ACO=\theta,c^2+a^2-ac\cos\theta=t$则$ac\cos\theta=a^2+c^2-t,acsin\theta=2$
两边平方相加得$(a^2+c^2-t)^2+4=a^2c^2\le(\dfrac{a^2+c^2}{2})^2$令$a^2+c^2=m$则$(m-t)^2+4\le \dfrac{m^2}{4}$
即$3m^2-8mt+16+4t^2\le0$,判别式$\Delta=64t^2-12(16+4t^2)=16(t^2-12)\ge0$得$t\ge 2\sqrt{3}$
注:向量除了我们课本上学的内积（又叫点积，也叫数量积）外还有外积（又叫叉积，也叫向量积)$\overrightarrow {a}*\overrightarrow {b}=|\overrightarrow {OA}|\cdot|\overrightarrow {OB}|\cdot \sin<\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}>$表示一个向量，方向满足右手螺旋定律
