排序算法之——归并排序（两种方法及其优化）
本文将围绕代码从多个方面分析归并算法，归并的操作很简单，稍加思考便能深刻理解。
1、算法思想：
要将一个数组排序，可以（递归地）将数组分成两半分别排序，然后将两边归并起来。归并算法最吸引人的地方是它能保证将任意长度为N的数组排序的时间与NlgN成正比。
SRE实战 互联网时代守护先锋，助力企业售后服务体系运筹帷幄！一键直达领取阿里云限量特价优惠。主要缺点是需要与N成正比的额外空间。
（示意图1）
2、原地归并的抽象方法
实现归并最直截了当的方法是将两个数组归并到第三个数组，实现的方法很简单，从左到右逐一比较两数组的第一位元素，将小的一个放入第三个数组（假设两数组已经有序），完成操作后第三个数组就是有序的。了解了思路，我们直接看代码。
1 public static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) { 2 int i = lo, j = mid + 1; 3 for (int k = lo; k <= hi; k++) { 4 aux[k] = a[k]; 5 } 6 for (int k = lo; k <= hi; k++) { 7 if (i > mid) { 8 a[k] = aux[j++]; 9 } else if (j > hi) { 10 a[k] = aux[i++]; 11 } else if (less(aux[i], aux[j])) { 12 a[k] = aux[i++]; 13 } else { 14 a[k] = aux[j++]; 15 } 16 } 17
18 }
主要操作就是第二个for循环里的四个判断：
1、数组1走完（将数组2当前元素放入数组3）
2、数组2走完（将数组1当前元素放入数组3）
3、数组1当前元素小于数组2当前元素（将数组1当前元素放入数组3）
4、数组2当前元素小于等于数组1当前元素（将数组2当前元素放入数组3）
（示意图2）
3、自顶向下的归并排序
如果能将两个子数组排序，就能通过并归两个子数组来对整个数组排序，这一切是通过递归实现的，也叫递归归并。直接看代码：
1 public class Merge{ 2 private static Comparable[] aux; 3 public static void sort(Comparable[] a) { 4 aux = a.clone();// 一次性分配空间
5 sort(a,0, a.length - 1); 6 } 7
8 private static void sort(Comparable[] a,int lo, int hi) { 9 if (hi <= lo) { 10 return; 11 } 12 int mid = lo + (hi - lo) / 2; 13 sort(aux,a, lo, mid);//左半边排序
14 sort(aux,a, mid + 1, hi);//右半边排序
15 merge(a,aux,lo, mid, hi);//归并结果（参考原地归并的抽象方法）
16 } 17 }
示意图：
（示意图3）
上图只是merge方法的轨迹，sort方法也极为重要，要想理解就必须知道sort方法调用的轨迹（这里请读者自己先写出sort的轨迹再看下面的答案）
sort(a,0,7)
将左半部分排序
sort(a,0,3)
sort(a,0,1)
merge(a,0,0,1)
sort(a,2,3)
merge(a,2,2,3)
将右半部分排序
sort(a,4,7)
sort(a,4,5)
merge(a,4,4,5)
sort(a,6,7)
merge(a,6,6,7)
归并结果
merge(a,0,3,7)
4、自底向上的归并排序
我们已经知道，自顶向下采用的是递归的方法，而自底向上则是循序渐进得解决问题，采用了循环的方法。通过下图可以很容易看出两种方式的区别：
下面上代码：
1 public static void sort(Comparable[] a) { 2 int n = a.length; 3 aux = new Comparable[n]; 4 for (int sz = 1; sz < n; sz = sz + sz) { 5 for (int lo = 0; lo < n - sz; lo += sz + sz) { 6 merge(a, lo, lo + sz - 1, Math.min(lo + 2 * sz - 1, n - 1));// 最后一次并归的第二个子数组可能比第一个小此时lo+2*sz-1越界
7 } 8 } 9 }
读者自行考虑自底向上方法的运行轨迹。
5、三项优化（代码在后面的代码演示中）
①对小规模子数组使用插入排序
用不同的方法处理小规模数组能改进大多递归算法的性能，在小数组上上，插入排序可能比并归排序更快。
②测试数组是否有序
根据归并排序的特点，每次归并的两个小数组都是有序的，当a[mid]<=a[mid+1]时我们可以跳过merge方法，这样并不影响排序的递归调用。
③不将元素复制到辅助数组
我们可以节省将数组复制到辅助数组的时间，这需要一些技巧。先克隆原数组到辅助数组，然后在之后的递归交换输入数组和辅助数组的角色（通过看代码更容易理解）
(画方框的为每次的输出数组)
6、代码演示（java）：
1 public class Merge implements Comparable<Merge> {// 归并排序(优化前) 2 private static Comparable[] aux; 3 4 private static boolean less(Comparable v, Comparable w) { 5 return v.compareTo(w) < 0; 6 } 7 8 @Override 9 public int compareTo(Merge arg0) { 10 // TODO Auto-generated method stub 11 return 0; 12 } 13 14 public static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {// 原地归并的抽象方法 15 int i = lo, j = mid + 1; 16 for (int k = lo; k <= hi; k++) { 17 aux[k] = a[k]; 18 } 19 for (int k = lo; k <= hi; k++) { 20 if (i > mid) { 21 a[k] = aux[j++]; 22 } else if (j > hi) { 23 a[k] = aux[i++]; 24 } else if (less(aux[j], aux[i])) { 25 a[k] = aux[j++]; 26 } else { 27 a[k] = aux[i++]; 28 } 29 } 30 } 31 32 public static void sort(Comparable[] a) { 33 aux = new Comparable[a.length]; 34 sort(a, 0, a.length - 1); 35 } 36 37 private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) { 38 /* 39 * 自顶向下的并归排序 三个改进 40 */ 41 if (hi <= lo) { 42 return; 43 } 44 int mid = lo + (hi - lo) / 2; 45 sort(a, lo, mid); 46 sort(a, mid + 1, hi); 47 merge(a, lo, mid, hi); 48 } 49 50 private static void exch(Comparable[] a, int j, int i) { 51 // TODO Auto-generated method stub 52 Comparable temp; 53 temp = a[j]; 54 a[j] = a[i]; 55 a[i] = temp; 56 } 57 58 public static void main(String[] args) { 59 Merge mg = new Merge(); 60 Comparable a[] = { 8, 1, 6, 8, 4, 6, 9, 7, 1, 2, 3, 4, 8, 5, 2, 6, 4, 3, 8 }; 61 mg.sort(a); 62 for (int i = 0; i < a.length; i++) { 63 System.out.print(a[i] + " "); 64 } 65 } 66 }
1 public class MergeX implements Comparable<Merge> {// 归并排序(优化后)
2 private static Comparable[] aux; 3
4 private static boolean less(Comparable v, Comparable w) { 5 return v.compareTo(w) < 0; 6 } 7
8 @Override 9 public int compareTo(Merge arg0) { 10 // TODO Auto-generated method stub
11 return 0; 12 } 13
14 public static void merge(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int mid, int hi) {// 原地归并的抽象方法
15 int i = lo, j = mid + 1; 16 // for (int k = lo; k <= hi; k++) { 17 // aux[k] = a[k]; 18 // }
19 for (int k = lo; k <= hi; k++) { 20 if (i > mid) { 21 a[k] = aux[j++]; 22 } else if (j > hi) { 23 a[k] = aux[i++]; 24 } else if (less(aux[j], aux[i])) { 25 a[k] = aux[j++]; 26 } else { 27 a[k] = aux[i++]; 28 } 29 } 30 } 31
32 public static void sort(Comparable[] a) { 33 aux = a.clone();// 一次性分配空间
34 sort(a, aux, 0, a.length - 1); 35 } 36
37 private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi) { 38 /*
39 * 自顶向下的并归排序 三个改进 40 */
41 // if (hi <= lo) { 42 // return; 43 // }
44 int mid = lo + (hi - lo) / 2; 45 if (hi - lo <= 7) {// 对小规模子数组使用插入排序 46 //System.out.println("insert!");
47 insertionSort(a, lo, hi); 48 return; 49 } 50 sort(aux, a, lo, mid); 51 sort(aux, a, mid + 1, hi); 52 if (!less(aux[mid + 1], aux[mid])) {// 已经有序时跳过merge(a中lo到mid mid到hi分别都是有序的)
53 System.arraycopy(aux, lo, a, lo, hi-lo+1); 54 return; 55 } 56 merge(a, aux, lo, mid, hi); 57 } 58
59 private static void insertionSort(Comparable[] a, int lo, int hi) { 60 for (int i = lo; i <= hi; i++) 61 for (int j = i; j > lo && less(a[j], a[j - 1]); j--) 62 exch(a, j, j - 1); 63 } 64
65 private static void exch(Comparable[] a, int j, int i) { 66 // TODO Auto-generated method stub
67 Comparable temp; 68 temp = a[j]; 69 a[j] = a[i]; 70 a[i] = temp; 71 } 72
73 public static void main(String[] args) { 74 MergeX mgx = new MergeX(); 75 Comparable a[] = { 8, 1, 6, 8, 4, 6, 9,7,1, 2, 3,4,8,5,2,6,4,3,8}; 76 mgx.sort(a); 77 for (int i = 0; i < a.length; i++) { 78 System.out.print(a[i] + " "); 79 } 80 } 81 }
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