后缀数组详解
基本概念
什么是后缀
假如你有一个字符串如
"gzyorz"
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它的后缀是
"gzyorz"，"zyorz"，"yorz"，"orz"，"rz"，"z"
很简单。
用\(suff[i]\)表示以第\(i\)位为开头的后缀。
大小比较
给两个字符串，让你比较大小，从头开始，一位一位的比，如果不相等，就比较两个字符的那个字典序比较大，如果一个串已经到结尾了，它们还是相等，那长的那个大。
比如
"aab"和"aac"
第一位'a'='a'，第二位'a'='a',第三位'b'<'c'，所以"aab"<"aac"。
或
"aab"和"aabc"
第一二三位均相等，但"aabc"比"aab"长，所以"aab"<"aabc"。
后缀数组和名次数组
拿网上一张十分直观的图
后缀数组\(sa[i]\)：表示所有后缀在排完序后，排名为\(i\)的后缀在原串中的位置。
名次数组\(rank[i]\)：表示所有后缀在排序完后，原字符串中第\(i\)名现在的排名。
总结一下
sa表示“排名第几的是谁”，rank表示"排名第几"
这里sa存的是排名第i后缀的开头的位置
这两者是可以在\(O(n)\)的时间内互推出来的。
rnak[sa[i]] = i;
sa[rank[i]] = i;显然，\(x\)的排名是\(y\)，那排名是\(y\)的就是\(x\)
求后缀数组
构造sa数组的方法一般有两种：
- 倍增算法：\(O(nlogn)\)
- DC3算法：\(O(n)\)
这里只讲一下倍增算法。
对于一个后缀\(suff[i]\)，直接求\(rank\)比较困难，我们用倍增的思想，成倍的两两合并出所有的后缀，用第\(k-1\)轮的\(rank\)推出第\(k\)轮的\(rank\)。
我们第\(k\)轮的\(s[i...i+2^k]\)可以看做是\(s[i...i+2^{k-1}]\)和\(s[i+2^{k-1}+1...2^k]\)拼起来的，而这两个长度为\(2^{k-1}\)的字符串是上一轮处理出来的，我们知道他们的\(rank\)，这就相当于两组数字(关键字)比较大小，这样，我们就获得了第\(k\)轮\(s[i...i+2^k]\)的\(rank\)。
如果\(i\)位置后没有\(2^{k-1}\)个字符，就是\(s[i...2^{k-1}]\)不能由上面两个字符串拼起来，表明\(i+2{k-1}\)大于等于\(len\)，也就是\(suff[i]\)这个字符串，直接补0。
所以，我们得到\("aabaaaab"\)的\(rank\)的过程大概就是这样。
怎么比较大小呢
举个栗子：
如图，我们要比较\(str1\)和\(str2\)的大小，显然我们只需要比较\(f1\)和\(f2\)的大小(第一关键 字)，\(g1\)和\(g2\)的大小就可以判断\(str1\)和\(str2\)的大小(第二关键字)。
显然这样做的复杂度是\(O(log(len))\)
基数排序
我们每次把子串合并后都要排一次序，如果直接上快排的话，\(O(len log^2 (len))\)，显然不行啊。
这就用到了\(O(len)\)的基数排序。
所谓基数排序，就是从最低位开始，先按个位排，再排十位，再排百位……
这里给张图感性理解一下，建议还是深度的学习一下，对下文的代码也好理解。
代码
代码还是很有必要解释一下的
如果学了基数排序的话还是基本很好理解的。
int fir[N], sce[N], t[N], sa[N];
//fir第一关键字（rank）
//sec第二关键字（sa）
//排名为i的串出现了多少次（桶） for (int i = 1; i <= len; ++i) ++t[fir[i] = s[i]]; //把每个字符放入桶内
for (int i = 1; i <= num; ++i) t[i] += t[i - 1]; //前缀和一下求当前字符的排名
for (int i = len; i >= 1; --i) sa[t[fir[i]]--] = i;
/* 这里枚举到i位置时，s[i] (fir[i])的排名是t[fir[i]]，那排名为t[fir[i]]的字符串开头的位置显然为i
-> sa[rank[i]] = i
*/ 就是第一轮在没有第二关键字的时候把所有的字母排一遍序。
利用前缀和可以快速的定位出每个位置应有的排名。
这里稍微模拟一下应该很好理解。
for (int i = len - k + 1; i <= n; ++i) sec[++cnt] = i;
for (int i = 1; i <= len; ++i) if (sa[i] > k) sec[++cnt] = sa[i] - k;第一行：因为这一部分的长度小于\(k\)，所以没有第二关键字，直接排到最前面好了，\(sec[i]\)记录的是排名第\(cnt\)的后缀的开头在\(i\)位置。
第二行：看排名为\(i\)的后缀的位置是否大于\(k\)，位置要大于\(k\)，当前找的字符串是由两个长度为\(k\)的子串拼起来的，如果\(i\)位置小于\(k\)，这个后缀就不能作为第二关键字了。
然后直接把上一轮的\(sa\)拿过来用就可以了，同时减去一个数后相对排名不变，一定要时刻记住\(sec\)存的是排名为\(cnt\)的后缀的位置，我们知道第二关键字排名第\(i\)的后缀的位置，这样就得到了以第二关键字的排名。
for (int i = 1; i <= num; ++i) t[i] = 0;
for (int i = 1; i <= len; ++i) ++t[fir[i]];
for (int i = 1; i <= num; ++i) t[i] += t[i - 1];
for (int i = len; i >= 1; --i) sa[t[fir[sec[i]]]--] = sec[i], sec[i] = 0;这个是把第一二关键字总的排名弄出来。
\(fir\)数组中存的是上次关键字的\(rank\)，即第一关键字，对\(fir\)排序就是对第一关键字排序，那第二关键字呢。
因为第一关键字可能对应很多第二关键字(因为有的串可能能是后缀，有的是长度为\(2^{k-1}\)的串，可能相同)，我们要在第一关键字相同的情况下排第二关键字，因为第二关键字已经排好，越大的肯定越靠后。
比如\(sec[1]=3\),\(sec[2]=4\)那4位置开始的后缀要比3位置开始的后缀靠后
\(sec[i]\)是第二关键字排名为\(i\)的后缀（sa数组定义）。
\(fir[sec[i]]\)就是排名为\(i\)的第二关键字对应的第一关键字。
\(t[fir[sec[i]]]\)就表示当第一关键字相同时，第二关键字较大的这个后缀的排名是多少。
理同上面的基数排序，\(sa[t[fir[sec[i]]]--] = sec[i]\)。
swap(fir, sec);
fir[sa[1]] = 1, cnt = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
fir[sa[i]] = (sec[sa[i]] == sec[sa[i - 1]] && sec[sa[i] + k] == sec[sa[i - 1] + k]) ? cnt : ++cnt;
if (cnt == len) break;
num = cnt;这里，在下面更新\(fir\)的时候\(sec\)是没有用的，所以swap一下直接把\(fir\)的值赋值给\(sec\)，这时\(sec\)存的就是\(fir\)了。
\(sa[1]\)的排名一定是1，然后定义一个值，表示串的"值"。
如果两个字符串的两个关键字完全相等，则新的"值"也相等。
如果所有的值都不一样，就说明排好序了。
关键字的取值范围就发生了变化，变为了\(cnt\)。
完整代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int num = 122, len;
int fir[N], sec[N], t[N], sa[N];
char s[N];
inline void SA() {
for (int i = 1; i <= num; ++i) t[i] = 0;
for (int i = 1; i <= len; ++i) ++t[fir[i] = s[i]];
for (int i = 1; i <= num; ++i) t[i] += t[i - 1];
for (int i = len; i >= 1; --i) sa[t[fir[i]]--] = i;
for (int k = 1; k <= len; k <<= 1) {
int cnt = 0;
for (int i = len - k + 1; i <= len; ++i) sec[++cnt] = i;
for (int i = 1; i <= len; ++i) if (sa[i] > k) sec[++cnt] = sa[i] - k;
for (int i = 1; i <= num; ++i) t[i] = 0;
for (int i = 1; i <= len; ++i) ++t[fir[i]];
for (int i = 1; i <= num; ++i) t[i] += t[i - 1];
for (int i = len; i >= 1; --i) sa[t[fir[sec[i]]]--] = sec[i], sec[i] = 0;
swap(fir, sec);
fir[sa[1]] = 1, cnt = 1;
for (int i = 2; i <= len; ++i)
fir[sa[i]] = (sec[sa[i]] == sec[sa[i - 1]] && sec[sa[i] + k] == sec[sa[i - 1] + k]) ? cnt : ++cnt;
if (cnt == len) break;
num = cnt;
}
}
int main() {
scanf("%s", s + 1);
len = strlen(s + 1);
SA();
for (int i = 1; i <= len; ++i) printf("%d ", sa[i]);
return 0;
}最长公共前缀——LCP
定义
height[i]：表示\(suff[sa[i]]\)和\(suff[sa[i-1]]\)的最大公共前缀，也就是排名完后两个相邻的后缀的最长公共前缀。
h[i]：等于\(height[rank[i]]\)，\(suff[i]\)和排序后在它前一名的后缀的最长公共前缀。
height
性质：\(h[i]\geq h[i-1]-1\)。
证明：
设\(suff[k]\)是排在\(suff[i - 1]\)前一名的后缀，则它们的最长公共前缀是\(h[i - 1]\)。
在没有公共前缀的时候\(h[i]\)是\(0\)
如果\(h[i - 1] \leq 1\)，那么\(h[i] \geq 0\)显然成立。
都去掉第一个字符，就变成\(suff[k + 1]\)和\(suff[i]\)(两个后缀长度均不为0)。
显然，都去掉一个字符后\(suff[k+1]\)和\(suff[i]\)的最长公共前缀是\(h[i-1]-1\)。
所以\(suff[i]\)和在它前一名的后缀的最长公共前缀至少是\(h[i - 1] - 1\)。
代码
void Getheight() {
int j, k = 0; //目前height数组计算到k
for (int i = 1; i <= len; i++) {
if(k) k--; //由性质得height至少为k-1
int j = sa[fir[i] - 1]; //排在i前一位的是谁
while(s[i + k] == s[j + k]) k++;
height[fir[i]] = k;
}
}对于一个字符串
定义\(LCP(i,j)=lcp(suff(sa[i]),suff(sa[j])\)。
1.对任意\(1\leq i<j<k\leq n，LCP(I,k)=min\{LCP(I,j),LCP(j,k)\}\)
2.设\(i<j\)，\(LCP(i,j)=min\{LCP(k-1,k)|i+1<=k<=j\}\)
而两个排名不相邻的最长公共前缀为排名在它们之间的height的最小值
一道求LCP的题
[AHOI2013]差异
在求出\(height\)数组之后，利用单调栈维护一个上升序列，得到该位置到的左右端点的长度，两长度相乘就是整个区间的长度，这个长度再乘上\(height[i]\)就是\(height[i]\)的贡献。
代码。
