Directx11学习笔记【五】 基本的数学知识----向量篇
本文参考dx11龙书 Chapter1 vector algebra(向量代数)
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要想学好游戏编程，扎实的数学知识是尤为重要的，下面将对dx11龙书中有关向量的数学知识做一下总结。
在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向（direction）的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段，箭头所指：代表向量的方向、线段长度：代表向量的大小。
向量的表示方式一般有3种：
1.代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c… 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示
2.几何表示：用有向线段表示
3.坐标表示
（注：directx使用的是左手系，下面不作说明均以左手系为准）
向量的一些基本操作（部分摘自百度百科）：
1.向量的模，即向量的长度。
向量a的模记作|a|。向量的模是非负实数，是可以比较大小的。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。
2.单位向量 长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向。与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。 3.向量的加减法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。OB+OA=OC。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 减法与加法类似 4.数量积（点积） 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a,b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律） (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) （a+b)·c=a·c+b·c（分配律） 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。 5.向量积（叉积） 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。 运算法则：运用三阶行列式 设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量 A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）则A*B= a b c x1 y1 z1 x2 y2 z2 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a平行b〈=〉a×b=0 向量的向量积运算律 a×b=－b×a （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb） a×（b+c）=a×b+a×c. （a+b）×c=a×c+b×c. 6.向量投影
给定一个向量u和v，求u在v上的投影向量，如下图。
假设u在v上的投影向量是u’，且向量u和v的夹角为theta。一个向量有两个属性，大小和方向，我们先确定u’的大小（即长度，或者模），从u的末端做v的垂线，那么d就是u’的长度。而u’和v的方向是相同的，v的方向v/|v|也就是u’的方向。所以有
再求d的长度。
最后求cos(theta)
联合求解方程（1）（2）（3）得到
这就是最终的投影向量。
而这个向量的长度d是
============================
以下是旧的推导，也保留。
XNA MathVectors
下面介绍一些xna math库中常用的向量结构及方法
1.向量类型
有XMVECTOR,XMFLOAT2，XMFLOAT3，XMFLOAT4等几种类型，具体可以看dx11龙书1.6.1节
在这一章中作者给出使用向量类型应注意的5点：
(1)、 对局部变量和全局变量，使用XMVECTOR类型；
(2)、 对类的数据成员，使用XMFLOAT2, XMFLOAT3和XMFLOAT4数据成员；
(3)、 在进行计算之前，使用载入函数（loading functions）来将XMFLOAT*类型转换成XMVECTOR类型；
(4)、 用XMVECTOR的实例进行计算；
(5)、 使用存储函数（storage functions）来将XMVECTOR转换成XMFLOAT*类型
2.Loading and Storage Methods（载入和存储函数）
我们用下面的方法来加载数据，从XMFLOAT*到XMVECTOR
XMVECTOR XMLoadFloat3(CONST XMFLOAT3 *pSource);
XMVECTOR XMLoadInt3(CONST UINT* pSource);
XMVECTOR XMLoadColor(CONST XMCOLOR *pSource);
用下面的方法存储数据，从XMVECTOR到XMFLOAT*
VOID XMStoreFloat3(XMFLOAT3 *pDestination,FXMVECTOR V);
......
3.Parameter Passing参数传递
龙书中主要介绍了CXMVECTOR 和FXMVECTOR 这两种参数类型，并告诉了我们在定义函数时，参数类型的注意事项：
函数的前三个XMVECTOR类型必须是FXMVECTOR，而后面的都是CXMVECTOR。
4.Constant Vectors常向量
需要初始化的XMVECTOR常量应该定义为XMVECTORF32类型（用于存储浮点向量）或XMVECTORU32类型（用于存储整数向量）.
5.Vector Functions一些向量运算有关的函数
XMVECTOR XMVectorZero();//返回零向量
XMVECTOR XMVectorSplatOne();//返回(1,1,1,1)
XMVECTOR XMVectorSet(FLOAT x,FLOAT y,FLOAT z,FLOAT w);//返回(x,y,z,w)
XMVECTOR XMVectorReplicate(FLOAT s);//返回(s,s,s,s)
XMVECTOR XMVectorSplatX(FXMVECTOR V);//返回(vx,vx,vx,vx)
XMVECTOR XMVector3Length(FXMVECTOR V);//返回向量v的模所构成的新的向量，例如向量v模为2，则返回(2,2,2)
XMVECTOR XMVector3LengthSq(FXMVECTOR V);//模的平方
XMVECTOR XMVector3Dot(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//点积
XMVECTOR XMVector3Cross(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//叉积
XMVECTOR XMVector3Normalize(FXMVECTOR V);//单位化
XMVECTOR XMVector3Orthogonal(FXMVECTOR V);//得到一个与其垂直的向量
XMVECTOR XMVector3AngleBetweenVectors(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//两个向量的夹角
VOID XMVector3ComponentsFromNormal(XMVECTOR* pParallel,XMVECTOR* pPerpendicular,FXMVECTOR V,FXMVECTOR Normal);//向量的投影
BOOL XMVector3Equal(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//判断两个向量是否相等
6.Floating-Point Error浮点数计算误差
用浮点数进行计算（甚至单纯地表示）时，会出现误差，所以等判断相等时，需要定义一个容许误差。
附：dx11龙书测试的源码及测试结果
1.
1 #include <windows.h> 2 #include <xnamath.h> 3 #include <iostream> 4 using namespace std; 5 6 //重载<<操作符 7 ostream& operator<<(ostream &os, FXMVECTOR v) 8 { 9 XMFLOAT3 dest; 10 XMStoreFloat3(&dest, v); 11 os << "(" << dest.x << "," << dest.y << "," << dest.z << ")"; 12 return os; 13 } 14 15 int main() 16 { 17 cout.setf(ios_base::boolalpha);//cout格式化 输入输出bool值可以为true和false 18 19 //检查是否支持SSE2 20 if (!XMVerifyCPUSupport()) 21 { 22 cout << "xna math not supported" << endl; 23 return 0; 24 } 25 XMVECTOR p = XMVectorZero(); 26 XMVECTOR q = XMVectorSplatOne(); 27 XMVECTOR u = XMVectorSet(1.0f, 2.0f, 3.0f, 0.0f); 28 XMVECTOR v = XMVectorSplatX(u); 29 XMVECTOR w = XMVectorReplicate(-3.5f); 30 31 cout << "p = " << p << endl; 32 cout << "q = " << q << endl; 33 cout << "u = " << u << endl; 34 cout << "v = " << v << endl; 35 cout << "w = " << w << endl; 36 37 return 0; 38 }
2.
1 #include <windows.h> 2 #include <xnamath.h> 3 #include <iostream> 4 using namespace std; 5 6 ostream& operator<<(ostream &os, FXMVECTOR v) 7 { 8 XMFLOAT3 dest; 9 XMStoreFloat3(&dest, v); 10 os << "(" << dest.x << "," << dest.y << "," << dest.z << ")"; 11 return os; 12 } 13 14 int main() 15 { 16 cout.setf(ios_base::boolalpha); 17 if (!XMVerifyCPUSupport()) 18 { 19 cout << "xna math not supported" << endl; 20 return 0; 21 } 22 XMVECTOR n = XMVectorSet(1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f); 23 XMVECTOR u = XMVectorSet(1.0f, 2.0f, 3.0f, 0.0f); 24 XMVECTOR v = XMVectorSet(-2.0f, 1.0f, -3.0f, 0.0f); 25 XMVECTOR w = XMVectorSet(0.707f, 0.707f, 0.0f, 0.0f); 26 27 XMVECTOR a = u + v; 28 XMVECTOR b = u - v; 29 XMVECTOR c = 10.0f * u; 30 XMVECTOR L = XMVector3Length(u); 31 XMVECTOR d = XMVector3Normalize(u); 32 XMVECTOR s = XMVector3Dot(u, v); 33 XMVECTOR e = XMVector3Cross(u, v); 34 35 XMVECTOR projW; 36 XMVECTOR perpW; 37 XMVector3ComponentsFromNormal(&projW, &perpW, w, n); 38 39 bool equal = XMVector3Equal(projW + perpW, w) != 0; 40 bool notEqual = XMVector3NotEqual(projW + perpW, w) != 0; 41 XMVECTOR angelVec = XMVector3AngleBetweenVectors(projW, perpW); 42 float angleRadians = XMVectorGetX(angelVec); 43 float angleDegrees = XMConvertToDegrees(angleRadians); 44 45 cout << "u = " << u << endl; 46 cout << "v = " << v << endl; 47 cout << "w = " << w << endl; 48 cout << "n = " << n << endl; 49 cout << "a = u + v = " << a << endl; 50 cout << "b = u - v = " << b << endl; 51 cout << "c = 10 * u = " << c << endl; 52 cout << "d = u / ||u|| = " << d << endl; 53 cout << "e = u x v = " << e << endl; 54 cout << "L = ||u|| = " << L << endl; 55 cout << "s = u.v = " << s << endl; 56 cout << "projW = " << projW << endl; 57 cout << "perpW = " << perpW << endl; 58 cout << "projW + perpW == w = " << equal << endl; 59 cout << "projW + perpW != w = " << notEqual << endl; 60 cout << "angle = " << angleDegrees << endl; 61 62 return 0; 63 }
3.
1 #include <windows.h> // for FLOAT definition 2 #include <xnamath.h> 3 #include <iostream> 4 using namespace std; 5 6 int main() 7 { 8 cout.precision(8); 9 10 // Check support for SSE2 (Pentium4, AMD K8, and above). 11 if( !XMVerifyCPUSupport() ) 12 { 13 cout << "xna math not supported" << endl; 14 return 0; 15 } 16 17 XMVECTOR u = XMVectorSet(1.0f, 1.0f, 1.0f, 0.0f); 18 XMVECTOR n = XMVector3Normalize(u); 19 20 float LU = XMVectorGetX(XMVector3Length(n)); 21 22 // Mathematically, the length should be 1. Is it numerically? 23 cout << LU << endl; 24 if( LU == 1.0f ) 25 cout << "Length 1" << endl; 26 else 27 cout << "Length not 1" << endl; 28 29 // Raising 1 to any power should still be 1. Is it? 30 float powLU = powf(LU, 1.0e6f); 31 cout << "LU^(10^6) = " << powLU << endl; 32 }
