数据结构——二叉堆

原文：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3610390.html

二叉堆的介绍

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，按照数据的排列方式可以分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

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二叉堆一般都通过"数组"来实现，下面是数组实现的最大堆和最小堆的示意图：

 

二叉堆的图文解析

图文解析是以"最大堆"来进行介绍的。
最大堆的核心内容是"添加"和"删除"，理解这两个算法，二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍，其它内容请参考后面的完整源码。

1. 添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下：

如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

 

最大堆的插入代码

 

        /*
         * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
         *
         * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
         *
         * 参数说明：
         *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
         */
        protected void FilterUp(int start)
        {
            int c = start;            // 当前节点(current)的位置
            int p = (c - 1) / 2;        // 父(parent)结点的位置 
            T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小

            while (c > 0)
            {
                int cmp = mHeap[p].CompareTo(tmp);
                if (cmp >= 0)
                    break;
                else
                {
                    mHeap[c] = mHeap[p];
                    c = p;
                    p = (p - 1) / 2;
                }
            }
            mHeap[c] = tmp;
        }

        /* 
         * 将data插入到二叉堆中
         */
        public void Insert(T data)
        {
            int size = mHeap.Count();

            mHeap.Add(data);    // 将"数组"插在表尾
            FilterUp(size);        // 向上调整堆
        }

 

insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。mHeap是动态数组ArrayList对象。
当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。

 

2. 删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：

如上图所示，当从最大堆中删除数据时：先删除该数据，然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位；接着，把这个“空位”尽量往上挪，直到剩余的数据变成一个最大堆。
从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后，最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。

注意：考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60，执行的步骤不能单纯的用它的字节点来替换；而必须考虑到"替换后的树仍然要是最大堆"！

 

二叉堆的删除代码

 

        /* 
        * 最大堆的向下调整算法
        *
        * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
        *
        * 参数说明：
        *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
        *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
        */
        public void FilterDown(int start, int end)
        {
            int c = start;          // 当前(current)节点的位置
            int l = 2 * c + 1;     // 左(left)孩子的位置
            var tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小

            while (l <= end)
            {
                int cmp = mHeap[l].CompareTo(mHeap[l + 1]);
                // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
                if (l < end && cmp < 0)
                    l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
                cmp = tmp.CompareTo(mHeap[l]);
                if (cmp >= 0)
                    break;        //调整结束
                else
                {
                    mHeap[c] = mHeap[l];
                    c = l;
                    l = 2 * l + 1;
                }
            }
            mHeap[c] = tmp;
        }

        /*
         * 删除最大堆中的data
         *
         * 返回值：
         *      0，成功
         *     -1，失败
         */
        public int Remove(T data)
        {
            // 如果"堆"已空，则返回-1
            if (mHeap.Count == 0)
                return -1;

            // 获取data在数组中的索引
            int index = mHeap.IndexOf(data); ;
            if (index == -1)
                return -1;

            int size = mHeap.Count();
            mHeap[index] = mHeap[size - 1];// 用最后元素填补
            mHeap.RemoveAt(size - 1);                // 删除最后的元素

            if (mHeap.Count() > 1)
                FilterDown(index, mHeap.Count() - 1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

            return 0;
        }

二叉堆的实现(完整源码)

二叉堆的实现同时包含了"最大堆"和"最小堆"。
二叉堆(最大堆)的实现文件(MaxHeap)

 

    /// <summary>
    /// 二叉堆(最大堆)
    /// </summary>
    /// <typeparam name="T"></typeparam>
    public class MaxHeap<T> where T : IComparable<T>
    {
        private List<T> mHeap;// 队列(实际上是动态数组ArrayList的实例)
        public MaxHeap()
        {
            this.mHeap = new List<T>();
        }

        public int CompareTo(T other, T other1)
        {
            return other.CompareTo(other1);
        }

        /* 
        * 最大堆的向下调整算法
        *
        * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
        *
        * 参数说明：
        *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
        *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
        */
        public void FilterDown(int start, int end)
        {
            int c = start;          // 当前(current)节点的位置
            int l = 2 * c + 1;     // 左(left)孩子的位置
            var tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小

            while (l <= end)
            {
                int cmp = mHeap[l].CompareTo(mHeap[l + 1]);
                // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
                if (l < end && cmp < 0)
                    l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
                cmp = tmp.CompareTo(mHeap[l]);
                if (cmp >= 0)
                    break;        //调整结束
                else
                {
                    mHeap[c] = mHeap[l];
                    c = l;
                    l = 2 * l + 1;
                }
            }
            mHeap[c] = tmp;
        }

        /*
         * 删除最大堆中的data
         *
         * 返回值：
         *      0，成功
         *     -1，失败
         */
        public int Remove(T data)
        {
            // 如果"堆"已空，则返回-1
            if (mHeap.Count == 0)
                return -1;

            // 获取data在数组中的索引
            int index = mHeap.IndexOf(data); ;
            if (index == -1)
                return -1;

            int size = mHeap.Count();
            mHeap[index] = mHeap[size - 1];// 用最后元素填补
            mHeap.RemoveAt(size - 1);                // 删除最后的元素

            if (mHeap.Count() > 1)
                FilterDown(index, mHeap.Count() - 1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

            return 0;
        }

        /*
         * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
         *
         * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
         *
         * 参数说明：
         *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
         */
        protected void FilterUp(int start)
        {
            int c = start;            // 当前节点(current)的位置
            int p = (c - 1) / 2;        // 父(parent)结点的位置 
            T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小

            while (c > 0)
            {
                int cmp = mHeap[p].CompareTo(tmp);
                if (cmp >= 0)
                    break;
                else
                {
                    mHeap[c] = mHeap[p];
                    c = p;
                    p = (p - 1) / 2;
                }
            }
            mHeap[c] = tmp;
        }

        /* 
         * 将data插入到二叉堆中
         */
        public void Insert(T data)
        {
            int size = mHeap.Count();

            mHeap.Add(data);    // 将"数组"插在表尾
            FilterUp(size);        // 向上调整堆
        }


        public override string ToString()
        {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int i = 0; i < mHeap.Count(); i++)
                sb.Append(mHeap[i] + " ");

            return sb.ToString();
        }

        public void test()
        {
            int i;
            int[] a = { 10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80 };
            MaxHeap<int> tree = new MaxHeap<int>();

            Console.WriteLine("== 依次添加: ");
            for (i = 0; i < a.Length; i++)
            {
                Console.Write("{0} ", a[i]);
                tree.Insert(a[i]);
            }

            Console.WriteLine("\n== 最 大 堆: {0}", tree);

            i = 85;
            tree.Insert(i);
            Console.WriteLine("\n== 添加元素: {0}", i);
            Console.WriteLine("\n== 最 大 堆: {0}", tree);

            i = 90;
            tree.Remove(i);
            Console.WriteLine("\n== 删除元素: {0}", i);
            Console.WriteLine("\n== 最 大 堆: {0}", tree);
            Console.WriteLine("\n");
        }
    }

 

二叉堆(最小堆)的实现文件(MinHeap)

 

    public class MinHeap<T> where T : IComparable<T>
    {
        private List<T> mHeap;        // 存放堆的数组

        public MinHeap()
        {
            this.mHeap = new List<T>();
        }

        /* 
         * 最小堆的向下调整算法
         *
         * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
         *
         * 参数说明：
         *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
         *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
         */
        protected void FilterDown(int start, int end)
        {
            int c = start;          // 当前(current)节点的位置
            int l = 2 * c + 1;     // 左(left)孩子的位置
            T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小

            while (l <= end)
            {
                int cmp = mHeap[l].CompareTo(mHeap[l + 1]);
                // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
                if (l < end && cmp > 0)
                    l++;        // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1]

                cmp = tmp.CompareTo(mHeap[l]);
                if (cmp <= 0)
                    break;        //调整结束
                else
                {
                    mHeap[c] = mHeap[l];
                    c = l;
                    l = 2 * l + 1;
                }
            }
            mHeap[c] = tmp;
        }

        /*
         * 最小堆的删除
         *
         * 返回值：
         *     成功，返回被删除的值
         *     失败，返回null
         */
        public int Remove(T data)
        {
            // 如果"堆"已空，则返回-1
            if (mHeap.Count == 0)
                return -1;

            // 获取data在数组中的索引
            int index = mHeap.IndexOf(data);
            if (index == -1)
                return -1;

            int size = mHeap.Count;
            mHeap[index] = mHeap[size - 1];// 用最后元素填补
            mHeap.RemoveAt(size - 1);                // 删除最后的元素

            if (mHeap.Count > 1)
                FilterDown(index, mHeap.Count - 1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

            return 0;
        }

        /*
         * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
         *
         * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
         *
         * 参数说明：
         *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
         */
        protected void FilterUp(int start)
        {
            int c = start;            // 当前节点(current)的位置
            int p = (c - 1) / 2;        // 父(parent)结点的位置 
            T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小

            while (c > 0)
            {
                int cmp = mHeap[p].CompareTo(tmp);
                if (cmp <= 0)
                    break;
                else
                {
                    mHeap[c] = mHeap[p];
                    c = p;
                    p = (p - 1) / 2;
                }
            }
            mHeap[c] = tmp;
        }

        /* 
         * 将data插入到二叉堆中
         */
        public void Insert(T data)
        {
            int size = mHeap.Count;

            mHeap.Add(data);    // 将"数组"插在表尾
            FilterUp(size);        // 向上调整堆
        }

        public override string ToString()
        {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int i = 0; i < mHeap.Count; i++)
                sb.Append(mHeap[i] + " ");

            return sb.ToString();
        }

        public void test()
        {
            int i;
            int[] a = { 80, 40, 30, 60, 90, 70, 10, 50, 20 };
            MinHeap<int> tree = new MinHeap<int>();

            Console.WriteLine("== 依次添加: ");
            for (i = 0; i < a.Length; i++)
            {
                Console.Write("{0} ", a[i]);
                tree.Insert(a[i]);
            }

            Console.WriteLine("\n== 最 小 堆: {0}", tree);

            i = 15;
            tree.Insert(i);
            Console.WriteLine("\n== 添加元素: {0}", i);
            Console.WriteLine("\n== 最 小 堆: {0}", tree);

            i = 10;
            tree.Remove(i);
            Console.WriteLine("\n== 删除元素: {0}", i);
            Console.WriteLine("\n== 最 小 堆: {0}", tree);
            Console.WriteLine("\n");
        }
    }

 

 

二叉堆的测试程序

测试程序已经包含在相应的实现文件中了，这里只说明运行结果。

最大堆(MaxHeap)的运行结果：

== 依次添加: 10 40 30 60 90 70 20 50 80 
== 最 大 堆: 90 80 70 60 40 30 20 10 50 
== 添加元素: 85
== 最 大 堆: 90 85 70 60 80 30 20 10 50 40 
== 删除元素: 90
== 最 大 堆: 85 80 70 60 40 30 20 10 50 

最小堆(MinHeap)的运行结果：

== 最 小 堆: 10 20 30 50 90 70 40 80 60 
== 添加元素: 15
== 最 小 堆: 10 15 30 50 20 70 40 80 60 90 
== 删除元素: 10
== 最 小 堆: 15 20 30 50 90 70 40 80 60 

 

PS. 二叉堆是"堆排序"的理论基石。以后讲解算法时会讲解到"堆排序"，理解了"二叉堆"之后，"堆排序"就很简单了。

 

     

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