机器学习的数学基础-（一、高等数学）（转）

一、高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

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 （1）

或者：

 （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数  在 处的左、右导数分别定义为：

左导数： 

右导数： 

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数  在  处可微  在  处可导

Th2: 若函数在点  处可导，则  在点  处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3:  存在 

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 :  法线方程： 

5.四则运算法则
设函数  在点  可导则
(1)   
(2)   
(3)  

6.基本导数与微分表
(1)  （常数）

，  
(2)  (  为实数)

，  
(3) 

，  
特例: ， 

(4) 

 
特例: ，  ，

(5) 

 ，， 

(6) 

， 

(7) 

，  
(8) 

，  
(9) 

 ， 
(10) 

，  
(11) 

，  
(12) 

， 

(13) 

 ，

(14) 

，  
(15) 

 ，

(16) 

， 

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设  在点  的某邻域内单调连续，在点  处可导且 ，则其反函数在点  所对应的  处可导，并且有  
(2) 复合函数的运算法则:若  在点  可导,而  在对应点  (  )可导,则复合函数  在点  可导,且  
(3) 隐函数导数  的求法一般有三种方法：
1)方程两边对  求导，要记住  是  的函数，则  的函数是  的复合函数。

例如  ，  ，  ，  等均是  的复合函数。
对  求导应按复合函数连锁法则做。
2)公式法：由  知  ,其中，  ，  分别表示  对  和  的偏导数
3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1）  
（2）  
（3）  
（4）  
（5）  
（6）莱布尼兹公式：若  均  阶可导，则
 ，其中  ， 

9.微分中值定理，，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数 满足条件：
(1)函数  在  的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有：

 或  ,

(2)  在  处可导,则有 

Th2:(罗尔定理)

设函数  满足条件：
(1)在闭区间  上连续；

(2)在  内可导；

(3) 

则在  内存在一个  ，使 

Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数  满足条件：
(1)在  上连续；

(2)在  内可导；

则在  内存在一个  ，使 

Th4: (柯西中值定理)

设函数  ，  满足条件：
(1) 在  上连续；

(2) 在  内可导且  ，  均存在，且 

则在  内存在一个  ，使 

10.洛必达法则
法则Ⅰ (  型)
设函数  满足条件：
 ;

 在  的邻域内可导，(在  处可除外)且  ;

 存在(或  )。

则:
 。
法则  (  型)

设函数  满足条件：
 ;

存在一个  ,当  时,  可导,且  ;

 存在(或  )。

则:
 
法则Ⅱ(  型)

设函数  满足条件：
 ;  在  的邻域内可导(在  处可除外)且  ;  存在(或  )。

则：  。同理法则  (  型)仿法则  可写出。

11.泰勒公式

设函数  在点  处的某邻域内具有  阶导数，则对该邻域内异于  的任意点  ，在  与  之间至少存在一个  ，使得： 

其中 称为  在点  处的  阶泰勒余项。

令  ，则  阶泰勒公式：  ……(1)
其中  ，  在0与  之间，(1)式称为麦克劳林公式。

常用五种函数在  处的泰勒公式

(1) 

或 

(2) 

或 

(3) 

或 

(4) 

或  

(5)   

或 

12.函数单调性的判断

Th1: 设函数  在  区间内可导，如果对  ，都有  （或  ），

则函数  在  内是单调增加的（或单调减少）。

Th2: （取极值的必要条件）设函数  在  处可导，且在  处取极值，

则  。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数  在  的某一邻域内可微，且  （或  在  处连续，但  不存在。）
(1) 若当  经过  时，  由“+”变“-”，则  为极大值；
(2) 若当  经过  时，  由“-”变“+”，则  为极小值；
(3) 若  经过  的两侧不变号，则  不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设  在  处有  ，且  ，则:

当  时，  为极大值；
当  时，  为极小值。
注：如果  ，此方法失效。

13.渐近线的求法
(1)水平渐近线

若  ，或  ，则

 称为函数  的水平渐近线。

(2)铅直渐近线

若  ，或  ，则

 称为  的铅直渐近线。

(3)斜渐近线

若  ，则
 称为  的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上  （或  ），则  在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理1)若在  处  ，（或  不存在），当  变动经过 时，  变号，则  为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设  在  点的某邻域内有三阶导数，且  ，  ，则  为拐点。

15.弧微分

16.曲率

曲线  在点  处的曲率  。
对于参数方程   。

17.曲率半径

曲线在点  处的曲率  与曲线在点  处的曲率半径  有如下关系：  。

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